Dr. Fisistein: Montanhas-Russas

As Montanhas Russas são as atrações mais procuradas nos parques de diversões do mundo. Geralmente, consiste em “carrinhos ou trenzinhos” que, em trilhos sobre estruturas de aço, movimentam-se em subidas, quedas, curvas, loops etc. Como o nome sugere, as primeiras montanhas russas surgiram na Rússia, no fim do século XVIII, com as brincadeiras sobre os trenós, subindo e descendo as elevações de neve, durante o inverno. No entanto, a empresa chamada Les Montagnes Russes à Belleville, em 1812, construiu em Paris a primeira e conhecida montanha russa de gravidade.

Daí em diante, elas foram aprimoradas e levadas aos parques de vários outros países com objetivo de atrair e divertir as pessoas. Nos Estados Unidos (EUA), a primeira montanha russa foi patenteada, em 1885, por LaMarcus Adna Thompson. E em 1895, no Sea Lion Park, Brooklyn, na montanha russa The Flip Flap, foi introduzido o movimento com o looping vertical, que era bastante perigoso e logo após foi desativado por falta de segurança. Pouco mais tarde, em 1912, John Miller desenvolveu um novo sistema de segurança para as montanhas russas, chamado de Underfriction, um dispositivo que apresentava rodas extras que mantêm os carrinhos presos aos trilhos em movimentos bruscos e intensos.

Sistema de Segurança Underfriction.

Fonte: Wikipedia - Underfriction.
.

Em 1959, surgiu a primeira Montanha Russa Matterhorn Bobsleds, na Disneylândia, onde os convencionais trilhos de madeira foram substituídos por trilhos tubulares de aço, podendo ser dobrados para todos os lados e permitindo, assim, maiores números de curvas e manobras. Atualmente, a mais alta, com altura de 139 metros, e veloz do mundo, atingindo 205 km/h, é a Kingda Ka, Jackson (EUA). A Steel Dragon, no Japão, é a mais longa, com de 2,5 quilômetros de extensão.

A FÍSICA DE SEUS MOVIMENTOS

As montanhas russas têm seus funcionamentos baseados em conhecimentos sobre a gravidade. Perceba que o carrinho da montanha russa, geralmente, começa com uma grande subida até chegar ao topo, ou seja, o ponto mais alto da sua trajetória, puxado por uma corrente motorizada e então entra em queda, guiado pelos trilhos do caminho. Nas curvas, os trilhos são inclinados para dentro e com a ajuda do Underfriction evitam que descarrilem e saiam pela tangente.

A Força da Gravidade é o principal agente no movimento dos carrinhos em montanhas russas. De acordo com a Física, quando o carrinho está no topo, ele tem acumulado energia potencial gravitacional

E_{p g}

, que durante as descidas é transformada em energia cinética

E_{c}

(movimento) e durante a subida ocorre o oposto, ou seja, a energia cinética é transformada em potencial gravitacional.

Considere a figura:

Movimento do carrinho da Montanha Russa.

As equações das energias são:

E_{c} = \frac{m v^{2}}{2}

E_{p g} = m g h

As letras m e v representam respectivamente a massa e a velocidade do conjunto carrinho e tripulantes, g a aceleração da gravidade local e h a altura ou altitude em relação ao solo. A unidade de medida de energia, adotada pelo sistema internacional de medidas (SI), é o Joule j. O princípio da Conservação da Energia Mecânica afirma que a energia mecânica total do sistema

E_{M}

do movimento é conservada quando não há forças resistivas. Caso isso seja considerado, ela se conserva em qualquer ponto da trajetória e assim teremos:

Energia Mecânica

\to E_{M} = E_{c} + E_{p g}

Conservação da Energia

\to E_{M A} = E_{M B} = E_{M C} = . . . = C o n s t a n t e

No ponto mais alto (A), onde o carrinho, praticamente, está em repouso, na iminência do movimento, a sua energia potencial é máxima e a energia cinética é nula, enquanto no mais baixo (B), onde a altura h é zero, sua energia potencial é nula e energia cinética é máxima. Já em quaisquer outros pontos, parcelas da energia mecânica estão divididas entre potencial e cinética, dependendo da sua altura e velocidade. Neste contexto, através da Física, podemos prever a velocidade máxima atingida pelo carrinho durante o movimento igualando:

E_{p g A} = E_{c B}

m . g . h_{A} = \frac{m . v_{B}^{2}}{2}

Cancelando-se m, teremos:

v_{B} = \sqrt{2. g . h_{A}}

Porém, é importante saber que, na realidade, existem forças resistivas durante o movimento dos carrinhos como a resistência do ar e o atrito com os trilhos do caminho, acarretando em perda de energia na forma de calor para o ambiente e na diminuição da velocidade máxima atingida. Uma das manobras mais arriscadas e perigosas nas montanhas russas, e que atrai muitas pessoas para os parques de diversões, é o Looping Vertical. Durante a realização do Looping, sobre o carrinho agem as forças Peso

P

, Normal

F_{N}

, dos trilhos

F_{T}

(quando o carrinho é preso aos trilhos) e a Centrípeta

F_{C e n t}

, resultante radial nos movimentos circulares.

Looping.

Faremos uma análise da velocidade mínima de entrada do carrinho para que realize o Looping Vertical, baseada no princípio da conservação da energia e considerando que não haja forças resistivas, ou seja, perdas de energia, em duas situações específicas, quando os carrinhos são e quando não são presos aos trilhos da montanha russa.

Situação 01 - Quando o carrinho está preso aos trilhos:

No topo do Looping, o Peso P é equilibrado pela Força do Trilho, ou seja,

P = F_{T}

, assim podemos usar a conservação da energia para determinar a velocidade mínima de entrada do carrinho, para que alcance o topo. À medida que o carrinho sobe, sua velocidade diminui e consequentemente a Força Normal também diminui, até que ambas se anulem no topo (

v_{t o p o} = 0

F_{N} = 0

F_{C e n t} = F_{N} + P + F_{T}

Pelo princípio da conservação da energia, teremos:

E_{M - B a s e} = E_{M - T o p o}

E_{c - B a s e} = E_{p g - T o p o}

\frac{m . v_{B a s e}^{2}}{2} = m . g . h_{T o p o}

como,

h_{T o p o} = 2 R

, logo:

v_{B a s e} = 2 \sqrt{g . R}

Nessa situação, percebemos que basta que o carrinho seja abandonado de uma altura pouco maior que o diâmetro do Looping (2R), para que o realize.

Situação 02 - Quando o carrinho não está preso aos trilhos:

Agora, já que o carrinho está solto dos trilhos, não teremos

F_{T}

. À medida que o carrinho sobe, a resultante da Força Normal e o Peso farão com que ele desprenda-se dos trilhos e caia. Portanto, ele deverá chegar com uma velocidade mínima no topo para que realize o Looping. Essa velocidade mínima do carrinho no topo deve ser de tal modo que a Força Normal se anule. Assim teremos:

F_{C e n t} = P

F_{C e n t} = P

\frac{m . v_{T o p o}^{2}}{R} = m . g

v_{T o p o} = \sqrt{g . R}

Caso queira, utilizando a conservação da energia, poderá determinar a velocidade mínima de entrada ou a altura mínima de abandono para que realize o Looping.

E_{M - B a s e} = E_{M - T o p o}

E_{c - B a s e} = E_{c - T o p o} + E_{p g - T o p o}

\frac{m . v_{B a s e}^{2}}{2} = \frac{m . v_{T o p o}^{2}}{2} + m . g . h_{T o p o}

substituindo,

h_{T o p o} = 2 R

v_{T o p o}^{2} = R g

, teremos:

v_{B a s e} = \sqrt{5 R g}

A altura mínima de abandono

h_{a b a n d}

do carrinho pode ser determinada considerando sua velocidade na base:

E_{c - B a s e} = E_{p g - T o p o}

\frac{m . v_{B a s e}^{2}}{2} = m . g . h_{A b a n d}

substituindo,

v_{B a s e}^{2} = 5 R g

, obteremos:

h_{A b a n d} = \frac{5}{2} R

Portanto, a velocidade mínima de entrada do carrinho deverá ser maior que a encontrada na situação 01. Assim, para que o carrinho realize o Looping sem estar preso aos trilhos, deverá partir de uma altura maior que (5/2)R (equivalente a 2,5R), diferente da situação 01, que bastava ser pouco maior que 2R.

REFERÊNCIAS:

CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. Energia Mecânica. As Faces da Física. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2006. Cap. 14. p. 167-173.
Physics and Chemistry by Clear Learning (PCCL). Russians Mountains. [20 ]. Disponível em: < http://www.physics-chemistry-interactive-flash-animation.com/mechanics_forces_gravitation_energy_interactive/energy_potential_kinetic_mechanical.htm >. Acesso em: 20 set. 2017.
LBRECHT, Elisiane Campos de Oliveira. A Física da Montanha Russa! Ciência e Diversão: O blog Informativo do Parque da Ciência.. Disponível em: <http://parquedaciencia.blogspot.com.br/2013/09/a-fisica-da-montanha-russa.html>. Acesso em: 20 set. 2017.
WIKIPEDIA. Sea Lion Park. Disponível em: <https://en.wikipedia.org/wiki/Sea_Lion_Park>. Acesso em: 20 set. 2013.